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Análisis Matemático 66
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PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones
1.
Considere la función coseno hiperbólico \[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\] definida sobre todo $\mathbb{R}$.
a) Muestre que $\cosh (x)$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en todo intervalo de la forma $[-a, a]$ con $a>0$.
a) Muestre que $\cosh (x)$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en todo intervalo de la forma $[-a, a]$ con $a>0$.
Respuesta
El Teorema de Rolle nos dice que si tenemos una función $f(x)$ que es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en el abierto $(a,b)$, y además $f(a) = f(b)$, entonces el Teorema nos asegura que existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$
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En este caso nuestra función es $\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ y tenemos que verificar que cumple las hipótesis del Teorema en el intervalo $[-a, a]$ con $a>0$. Vayamos punto por punto para ver si cumple:
Hipótesis 1: Continuidad de \(\cosh(x)\)
Fijate que la función \(\cosh(x)\) se define como $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$, y ahí tenemos simplemente dos exponenciales sumándose, no tenemos ninguna restricción que nos haga suponer que nuestra función sea discontinua en algún punto. Por lo tanto, \(\cosh(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\) y, en particular, lo es en el intervalo cerrado \([-a, a]\).
Hipótesis 2: Derivabilidad de \(\cosh(x)\)
Calculemos la derivada de \(\cosh(x)\) y comprobemos que es una función continua en \((-a, a)\).
$
(\cosh(x))' = \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = \sinh(x)
$
Aclaro por las dudas: Si te perdiste con esta derivada, fijate que a $\cosh(x)$ lo podes escribir así: $\cosh (x)=\frac{1}{2} (e^{x}+e^{-x})$ y ahí derivás ;)
Esto que acabamos de obtener es como se define el seno hiperbólico de $x$, \(\sinh(x)\). Y fijate que esta función que obtuvimos está definida para todo \(\mathbb{R}\), no hay ningún $x$ en el cual esta función (que es la derivada de \(\cosh(x)\)) no esté definida, lo que significa que \(\cosh(x)\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\), en particular lo será en cualquier intervalo de la forma \((-a, a)\).
Hipótesis 3: Valores iguales en los extremos del intervalo
Calculemos $\cosh(-a)$ y $\cosh(a)$ y veamos que siempre son iguales:
Finalmente, debemos verificar que los valores de \(\cosh(x)\) en los extremos del intervalo son iguales:
$ \cosh(-a) = \frac{e^{-a} + e^{a}}{2}$
$\cosh(a) = \frac{e^{a} + e^{-a}}{2}$
y estas dos expresiones claramente son iguales.
Por lo tanto, como la función $\cosh(x)$ verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, entonces Rolle nos asegura que en el intervalo $(-a,a)$ tiene que existir al menos un $c$ tal que la derivada de $\cosh(x)$ se anule, es decir que:
$
\sinh(c) = 0
$